rough 集合
rough set
$ \Bbb Uを宇宙 (universe) と呼ぶ對象の空集合でない有限集合、$ \Bbb Aを attribute の空集合でない有限集合として、知識 system (knowledge system。attribute-value system。情報 system (information system))$ ({\Bbb U},{\Bbb A},V_{:=\bigcup_{a\in{\Bbb A}}(V_a:=\{x\in{\Bbb U}|a(x)\})},f_{:{\Bbb U}\times{\Bbb A}\to V})が在るとしよう。attribute の集合$ P\subseteq{\Bbb A}と對象の集合$ X\subseteq{\Bbb U}に對して、以下で定義される集合の組$ (\underline PX,\overline PX)を rough 集合と呼ぶ $ x\in Xの$ Pに依る同値類を$ \lbrack x\rbrack_P:=\{y\in{\Bbb U}|\forall a_{\in P}(a(x)=a(y))\}\in{\Bbb U}/Pと書く $ \underline PX:=\{x|\lbrack x\rbrack_P\subseteq X\}を$ Xの$ P-下近似 (lower approximation) と呼ぶ
確實に$ Xに屬すると$ Pで判かる對象の集合
$ \overline PX:=\{x|\lbrack x\rbrack_P\cap X\ne\varnothing\}を$ Xの$ P-上近似 (upper approximation) と呼ぶ
補集合$ X^Cに屬するとは$ Pでは確實は判からない爲に、$ Xに屬するかもしれない對象の集合
$ \underline PXを正領域 (positive region)$ {\rm POS}_P(X)とも呼ぶ
補集合$ (\overline PX)^Cを負領域 (negative region)$ {\rm NEG}_P(X)と呼ぶ
差集合$ \overline PX\setminus\underline PXを境界領域 (boundary region)$ {\rm BN}_P(X)と呼ぶ
對象の集合$ Xが$ Pに依る同値類の和集合であれば、卽ち$ \underline PX=X=\overline PXであれば$ Xは$ P-定義可能 (definable) あるいは$ P-正確 (exact) であると言ふ $ \underline PX\sub X\sub\overline PXであれば$ Xは$ P-定義不可能 (undefinable) あるいは$ P-rough であると言ふ
$ \underline Pは開核作用素$ \lbrack P\rbrack、$ \overline Pは閉包作用素$ \lang P\rangと見做せる $ \underline PX\subseteq X\subseteq\overline PX.
$ \underline P\varnothing=\overline P\varnothing=\varnothing.
$ \underline P{\Bbb U}=\overline P{\Bbb U}={\Bbb U}.
$ \underline P(X\cap Y)=\underline PX\cap\underline PY.
$ \overline P(X\cup Y)=\overline PX\cup\overline PY.
$ \underline PX\cup\underline PY\subseteq\underline P(X\cup Y).
$ \overline P(X\cap Y)\subseteq\overline PX\cap\overline PY.
$ X\subseteq Yならば$ \underline PX\subseteq\underline PY
$ X\subseteq Yならば$ \overline PY\subseteq\overline PX
$ \underline PX^C=(\overline PX)^C,$ \square\neg X\lrarr\neg\lozenge X
$ \overline PX^C=(\underline PX)^C,$ \neg\square X\lrarr\lozenge\neg X
$ \underline P\underline PX=\overline P\underline PX=\underline PX.
$ \overline P\overline PX=\underline P\overline PX=\overline PX.
一般化 rough 集合 (generalized rough set)
組$ ({\Bbb U},P_{\subseteq{\Bbb U}\times{\Bbb U}})に對して、以下で定義された集合の組$ (\underline PX,\overline PX)を一般化 rough 集合と呼ぶ 對象$ x\in{\Bbb U}から到達可能な對象の集合を$ {\Bbb U}_P(x):=\{y\in{\Bbb U}|xPy\}と書く $ \underline PX:=\{x|{\Bbb U}_P(x)\subseteq X\}を$ Xの$ P-一般化下近似 (generalized lower approximation) と呼ぶ
$ \overline PX:=\{x|{\Bbb U}_P(x)\cap X\ne\varnothing\}を$ Xの$ P-一般化上近似 (generalized upper approximation) と呼ぶ
rough 集合に於ける attribute の集合$ Pに依る同値關係$ x=y\iff\exist A_{\in{\Bbb U}/P}(x,y\in A)を、何らかの二項關係$ xPy\subseteq{\Bbb U}\times{\Bbb U}で置き換へる 粒狀計算 (granular computing)
近傍 frame$ ({\Bbb U},N_{:{\Bbb U}\to 2^{2^{\Bbb U}}})に對してこれが位相空閒でもある時、粒狀計算に於ける近似を以下で定義できる。函數$ Nを近傍系と呼ぶ 下近似$ \underline PX:=\{x\in{\Bbb U}|\exist Y_{\in N(x)}(Y\subseteq X)\}
上近似$ \overline PX:=\{x\in{\Bbb U}|\forall Y_{\in N(x)}(Y\cap X\ne\varnothing)\}
m :$ X\in N(x)且つ$ X\subseteq X'ならば$ X'\in N(x)。$ \square(p\land p')\to(\square p\land\square p')
c :$ X,X'\in N(x)ならば$ X\cap X'\in N(x)。$ (\square p\land\square p')\to\square(p\land p')
n :$ {\Bbb U}\in N(x)。$ \square\top
t :$ X\in N(x)ならば$ x\in X。$ \square p\to p
4' :$ X\in N(x)ならば$ \exist Y_{\in N(x)}が存在し、$ Y\in X且つ$ \forall y_{\in Y}(X\in N(y))
開集合 ($ \underline PX=Xとなる$ X) と閉集合 ($ \overline PX=Xとなる$ X) が一致する位相空閒とも見做せる 逆に Kripke frame を一般化近似空閒 (generalized approximation space) とも呼ぶ Kripke model$ M=({\Bbb U},P_{\subseteq{\Bbb U}\times{\Bbb U}},\Vdash)に於いて、命題文$ pの眞理集合 (truth set) を$ ||p||^M:=\{x\in{\Bbb U}|x\Vdash p\}と定義すれば、 一般化近似空閒を用いて以下の通り樣相作用素の妥當性を定義できる
$ x\Vdash\square p\iff{\Bbb U}_P(x)\subseteq||p||^M.
$ x\Vdash\lozenge p\iff{\Bbb U}_P(x)\cap||p||^M\ne\varnothing.
一般化 rough 集合を用いて以下の通り樣相作用素の眞理集合を書ける
必然$ ||\square p||^M=\underline P||p||^M={\rm POS}_P(||p||^M)正領域
可能$ ||\lozenge p||^M=\overline P||p||^M
不可能$ ||\neg\lozenge p||^M={\rm NEG}_P(||p||^M)負領域
偶然$ ||\lozenge p\land\neg\square p||^M={\rm BN}_P(||p||^M)境界領域
公理系 K (lemon code : K)
規則 N :$ \frac{p}{\square p}。$ \square\top。$ \underline P{\Bbb U}={\Bbb U}
公理 Def$ \lozenge:$ \lozenge p\lrarr\neg\square\neg p。$ \overline PX=(\underline PX^C)^C
公理 K :$ \square(p\to q)\to(\square p\to\square q)。$ \underline P(X^C\cup Y)\subseteq((\underline PX)^C\cup\underline PY)
公理系 D (lemon code : KD)
公理 D :$ \square p\to\lozenge p。$ \underline PX\subseteq\overline PX
公理系 T (lemon code : KT)
公理 T :$ \square p\to p。$ \underline PX\subseteq X
公理系 B (lemon code : KTB)
公理 B :$ p\to \square\lozenge p。$ X\subseteq\underline P\overline PX
公理 4 :$ \square p\to\square\square p。$ \underline PX\subseteq\underline P\underline PX
公理系 S5 (lemon code : KT5 = KTB4 = KDB4 = KDB5。S5 樣相論理) 公理 5 :$ \lozenge p\to\square\lozenge p。$ \overline PX\subseteq\underline P\overline PX